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Continuité d’une fonction numérique sur un intervalle

Continuité des fonctions usuelles - Opérations sur les fonctions continues

Définition1. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et a,b\in\mathbb{R}.
– On dit que f est continue sur I s’elle est continue en tout point de I .
– On dit que f est continue sur l’intervalle fermé [a;b] s’elle est continue sur l’intervalle ouvert ]a;b[ et est continue à droite en a et à gauche en b .

Propriété1 (Continuité des fonctions usuelles). Les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles, la fonction x\mapsto\sqrt{x} et les fonctions trigonométriques x\mapsto\cos(x) et x\mapsto\sin(x), sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.

Propriété2 (Opérations sur les fonctions continues).
– Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I , alors les fonctions f+g , f-g , f\times g , kf (avec k\in\mathbb{R} ) et |f| sont continues sur I .
– Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I , telle que g ne s’annule pas sur I , alors les fonctions \frac{1}{g} et \frac{f}{g} sont continues sur I .

Exercice1. Etudier la continué des fonctions suivantes sur l’intervalle I .

    1. \ f(x)=x^3+3x-1\ ;\quad I=\mathbb{R} .
    2. \ f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}\ ;\quad I=]1;+\infty[ .
    3. \ f(x)=\sqrt{x}\sin(x)\ ; \quad I=\mathbb{R^+} .
    4. \ f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2-3x+2}\ ; \quad I=]1;2[ .
    1. Il suffit de remarquer que la fonction f est un polynôme (fonction usuelle) définie sur \mathbb{R} . Alors d’après la propriété 1, f est continue sur \mathbb{R} .
    2. La function f est une fonction rationnelle (fonction usuelle) définie sur \mathbb{R}\backslash \{1\}=]-\infty;1[\cup]1;+\infty[. Par conséquent, d’après la propriété 1, f est continue sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition, en particulier sur ]1;+\infty[ .
    3. D’après la propriété 1, la fonction x\mapsto\sqrt{x} est définie et continue sur [0 ;+\infty[ . De même, La fonction x\mapsto\sin(x) est définie est continue sur \mathbb{R} , ce qui implique en particulier sa continuité sur l’intervalle [0 ;+\infty[ . Ainsi, la fonction f est le produit de deux fonctions continues sur le même intervalle [0 ;+\infty[ . En conséquence, selon la propriété 2, f est continue sur [0 ;+\infty[ .
    4. Premièrement, d’après la méthode du discriminant, nous remarquons que le polynôme x^2-3x+2 s’annule uniquement en 1 et 2 . D’autre part, la fonction f est le quotient des deux fonctions continues sur l’intervalle ]1;2[ , x\mapsto\cos(x) et x\mapsto x^2-3x+2 . Puisque la dernière ne s’annule pas sur ]1;2[ , alors d’après la propriété 2, f est continue sur ]1;2[ .

    • Continuité de la composée de deux fonctions numériques

    Propriété3 (Continuité de la composée de deux fonctions). Soient f et g deux fonctions numériques. Si f est continue sur un intervalle I et g est continue sur un intervalle J tel que f(I)\subset J , alors la fonction composée g\circ f est continue sur I .

    Exercice2. Montrer que la fonction h(x)=\sin(\sqrt{x}) est continue sur [0 ;+\infty[ .

    Nous remarquons que la fonction h est la composée des deux fonctions f(x)=\sqrt{x} et g(x)=\sin(x) dans cet ordre. C’est-à-dire, pour tout x\geq 0 , nous avons : h(x)= \sin\left(\sqrt{x}\right)= g\left (\sqrt{x}\right) = g\left (f(x)\right) = g\circ f (x). Puisque f est continue sur [0 ;+\infty[ et g est continue sur \mathbb{R} avec f\left ([0 ;+\infty[\right)\subset \mathbb{R} , alors, d’après la propriété 3, la fonction h , la composée de f et g , est continue sur [0 ;+\infty[ .

    Corollaire1 (Continuité de la fonction x\mapsto\sqrt{f(x)} ). Si une fonction f est continue et positive sur un intervalle I alors la fonction x\mapsto \sqrt{f(x)} est continue sur I .

    Exercice3. Montrer que la fonction f(x)=\sqrt{2x-6} est continue sur l’intervalle [3;+\infty[ .

    Premièrement nous avons pour tout x\geq 3 , 2x-6\geq 0 . Ainsi, la fonction polynomiale x\mapsto 2x-6 est positive sur [3;+\infty[ , et puisqu’elle est aussi continue sur cet intervalle, alors, selon le corollaire 1, la fonction f(x)=\sqrt{2x-6} est continue sur [3;+\infty[ .