Exemple1. On considère la fonction numérique f définie sur \mathbb{R} par : \begin{cases}f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, & \text{si } x \neq 1 \\f(1)=2.\end{cases}
a- Calculer la limite suivante : \displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) .
b- Comparer la limite de f en 1 avec l’image f(1) .
Définition1. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et a \in I .
On dit que f est continue en a si \displaystyle\lim_{x \to a} f(x)=f(a) .
Exercice1. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : \begin{cases}f(x)=\frac{2x^2-6x}{x-3}, \text{ si } x \neq 3 \\f(3)=-6.\end{cases} Étudier la continuité de f en 3 .
Définition2.
– Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de type [a;a+r[ tel que a \in \mathbb{R} et r\gt0 .
On dit que f est continue à droite en a si \displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)=f(a) .
– Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de type ]a-r;a] tel que a \in \mathbb{R} et r\gt0 .
On dit que f est continue à gauche en a si \displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)=f(a) .
Exemple2. On considère la fonction numérique suivante \begin{cases}f(x)=\frac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}, & \text{si } x \gt 1 \\f(x)=\frac{3}{5-x}, & \text{si } x \leq 1.\end{cases}
a- Calculer f(1) .
b- Etudier la continué de f à droite en 1 .
c- Etudier la continué de f à gauche en 1 .
d- Que peut-on dire de la continué de f en 1 .
Propriété1. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a \in I .
f est continue en a si, et seulement si, f est continue à droite et à gauche en a .
Exercice2. Etudier la continuité de la fonction suivante en 2. \begin{cases}f(x)=3x+4, & \text{si } x \leq 2 \\f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}, & \text{si } x \gt 2.\end{cases}