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Image d’un Intervalle par une Fonction Continue

Définition1. Soit f une fonction définie sur un ensemble A . L’image de A par f , notée f(A) est l’ensemble des images f(x) avec x\in A : f(A)=\{f(x) / x\in A \}.

Si f une fonction continue sur un intervalle I , alors l’image de I par f notée f(I) est également un intervalle. Par conséquent, nous pouvons formuler la proposition suivante :

Propriété1.
– L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
– L’image d’un segment (intervalle fermé) par une fonction continue est un segment.

Exercice1. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : \begin{cases}f(x)=\frac{2x^2-6x}{x-3}, \text{ si } x \neq 3 \\f(3)=-6.\end{cases} Étudier la continuité de f en 3 .

Nous avons \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{ x \to 3 } \frac{2x^2-6x }{x – 3} = \lim_{ x \to 3 } \frac{2x(x – 3)}{x – 3} = \lim_{x \to 3} 2x = 2\times 3 = 6. D’où \displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) \not= f(3). Par conséquent, f n’est pas continue en 3 .

Continuité à droite et continuité à gauche en un point

Exemple2. On considère la fonction numérique suivante \begin{cases}f(x)=\frac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}, & \text{si } x \gt 1 \\f(x)=\frac{3}{5-x}, & \text{si } x \leq 1.\end{cases} a- Calculer f(1) .
b- Etudier la continué de f à droite en 1 .
c- Etudier la continué de f à gauche en 1 .
d- Que peut-on dire de la continué de f en 1 .

a- La deuxième expression de f est valable pour x\leq 1 . Ainsi, f(1)=\frac{3}{5-1}=\frac{3}{4}. b- Nous avons \begin{aligned} \lim_{x \to 1^+} f(x) &= \lim_{\substack{x \to 1 \\ x \gt 1}} \frac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1} = \lim_{ x \to 1^+} \frac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{3x+1}+2)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)}\\ &= \lim_{ x \to 1^+} \frac{\sqrt{3x+1}^2-4}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)}=\lim_{ x \to 1^+} \frac{3(x-1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)}\\ &=\lim_{ x \to 1^+} \frac{3}{\sqrt{3x+1}+2}=\frac{3}{\sqrt{3\times1+1}+2}=\frac{3}{4}. \end{aligned} D’où \lim_{x \to 1^+}f(x)=f(1), ce qui montre que f est continue à droite en 1 .
c- Nous avons \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x \lt 1}} \frac{3}{x-1} = \frac{3}{5-1}=\frac{3}{4}. Ainsi, \lim_{x \to 1^-}f(x)=f(1). Donc, f est continue à gauche en 1 .
d- Puisque f est continue à droite et à gauche en 1 , alors \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1^-}f(x)=f(1). La fonction f admet donc une limite en 1 égale à f(1) . En d’autre terme, f est continue en 1 . Par conséquent, on a la propriété suivante.

Propriété1. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a \in I .
f est continue en a si, et seulement si, f est continue à droite et à gauche en a .

Exercice2. Etudier la continuité de la fonction suivante en 2. \begin{cases}f(x)=3x+4, & \text{si } x \leq 2 \\f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}, & \text{si } x \gt 2.\end{cases}

La première expression de f est valide pour x \geq 2 . D’où, f(2)= 3\times2+4=10. Nous avons \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{\substack{x \to 2 \\ x \gt 2}} 3x+4= 3\times2+4=10=f(2). Ainsi, f est continue à droite en 2 .
D’autre part, nous avons \begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= \lim_{\substack{x \to 2 \\ x \lt 2}} \frac{x^2-3x+2}{x-2} = \lim_{ x \to 2^-} \frac{(x-2)(x-1)}{x-2}\\ &= \lim_{ x \to 2^-} x-1=2-1=1.\\ \end{aligned} Donc, \lim_{x \to 2^-}f(x)\not=f(2). Ceci montre que f n’est pas continue à gauche en 2 .
Puisque f n’est pas continue à gauche en 2 alors, d’après Propriété1, f n’est pas continue en 2 .