\section{Continuité en un point - Continuité sur un intervalle}
\subsection{Continuité en un point}
\begin{exemple}
On considère la fonction numérique suivante
$$
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\[6pt]
2, & x = 1
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}[1.]
\item Calculer la limite suivante : $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$.
\item Comparer cette limite en $1$ avec l'image $f(1)$.
\end{enumerate}
\end{exemple}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est \textbf{continue en $a$} si
$$
\lim_{x \to a} f(x) = f(a).
$$
\end{definition}
\begin{exercice}
Étudier la continuité de la fonction suivante en $3$.
$$
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{2x^{2} - 6x}{x - 3}, & x \neq 3 \\[6pt]
-6, & x = 3
\end{cases}
$$
\end{exercice}
\subsection{Continuité à droite et continuité à gauche en un point}
\begin{definition}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Soit $a \in \mathbb{R}$ et $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle de type $[a, a+r[$ avec $r > 0$. On dit que $f$ est \textbf{continue à droite en $a$} si
$$
\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a).
$$
\item Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle de type $]a-r, a]$ avec $r > 0$. On dit que $f$ est \textbf{continue à gauche en $a$} si
$$
\lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a).
$$
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{exemple}
On considère la fonction numérique suivante
$$
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}, & x > 1 \\[6pt]
\dfrac{3}{5-x}, & x \leq 1
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}[1.]
\item Calculer $f(1)$.
\item Étudier la continuité de $f$ à droite en $1$.
\item Étudier la continuité de $f$ à gauche en $1$.
\item Que peut-on dire de la continuité de $f$ en $1$ ?
\end{enumerate}
\end{exemple}
\begin{propriete}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ est continue à gauche et à droite en $a$.
\end{propriete}
\begin{exercice}
Étudier la continuité de $f$ en $2$ :
$$
f(x)=
\begin{cases}
3x+4, & x \leq 2 \\[6pt]
\dfrac{x^{2}-3x+2}{x-2}, & x > 2
\end{cases}
$$
\end{exercice}
\subsection{Continuité sur un intervalle}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item On dit que $f$ est \textbf{continue sur $I$} si elle est continue en tout point de $I$.
\item On dit que $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a,b]$ si elle est continue sur l'intervalle ouvert $]a,b[$ et est continue à droite en $a$ et à gauche en $b$.
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{propriete}{Continuité des fonctions usuelles}
Les fonctions polynômiales, les fonctions rationnelles, la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ et les fonctions trigonométriques $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$ sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
\end{propriete}
\begin{propriete}{Opérations sur les fonctions continues}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur l'intervalle $I$, alors les fonctions $f+g$, $f-g$, $fg$, $kf$ (avec $k\in\mathbb{R}$) et $|f|$ sont continues sur $I$.
\item Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur l'intervalle $I$, telle que $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors les fonctions $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont continues sur $I$.
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{exercice}
Étudier la continuité des fonctions suivantes sur l'intervalle $I$ :
\begin{enumerate}[1)]
\item $f(x)=x^{3}+3x-1$ ; $I=\mathbb{R}$.
\item $f(x)=\dfrac{x^{2}+2}{x-1}$ ; $I=]1,+\infty[$.
\item $f(x)=\sqrt{x}\sin x$ ; $I=\mathbb{R}^{+}$.
\item $f(x)=\dfrac{\cos x}{x^{2}-3x+2}$ ; $I=]1,2[$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\subsection{Continuité de la composée de deux fonctions}
\begin{propriete}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ est continue sur un intervalle $J$ tel que $f(I)\subset J$, alors la fonction composée $g\circ f$ est continue sur $I$.
\end{propriete}
\begin{exercice}
Montrer que la fonction $h(x)=\sin(2x-1)$ est continue sur $\mathbb{R}$.
\end{exercice}
\begin{corollaire}
Si une fonction $f$ est continue et positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $x\mapsto \sqrt{f(x)}$ est continue sur $I$.
\end{corollaire}
\begin{exercice}
Montrer que la fonction $f(x)=\sqrt{2x-3}$ est continue sur l'intervalle $[2,+\infty[$.
\end{exercice}
\subsection{Image d'un intervalle par une fonction continue}
\begin{propriete}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
\item L'image d'un segment (intervalle fermé) par une fonction continue est un segment.
\end{itemize}
\end{propriete}
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.\begin{exercice}
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{x^{2}+x-1}{x-1}$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer les images par $f$ des intervalles suivants :
$$[-1,0] \quad;\quad [2,3] \quad;\quad [0,1[ \quad;\quad ]1,2] \quad;\quad [3,+\infty[ \quad;\quad ]-\infty,0].$$
\end{enumerate}
\end{exercice}
\subsection{Théorème des valeurs intermédiaires}
\begin{propriete}{Théorème des valeurs intermédiaires}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a,b]$.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$.
\item Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$.
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{corollaire}
Si $f$ est une fonction \textbf{continue} sur un intervalle $\boldsymbol{[a,b]}$ avec $\boldsymbol{f(a)\times f(b) < 0}$, alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution $c$ dans l'intervalle ouvert $]a,b[$.
\end{corollaire}
\begin{corollaire}
Si $f$ est une fonction \textbf{continue et strictement monotone} sur $\boldsymbol{[a,b]}$ avec $\boldsymbol{f(a)\times f(b) < 0}$, alors l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $c$ dans l'intervalle ouvert $]a,b[$.
\end{corollaire}
\begin{exercice}
$\text{}$
\begin{enumerate}[1.]
\item Montrer que l'équation $x^{4}-5x=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]1,2[$.
\item Montrer que l'équation $x^{3}-3x^{2}+1=0$ admet une unique solution $\alpha$ telle que $0<\alpha<1$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\section{Fonction réciproque}
\subsection{Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle}
\begin{propriete}
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors pour tout élément $y$ de $f(I)$, il existe un unique élément $x$ de $I$ tel que $f(x)=y$. (On dit que $x$ est l'antécédent de $y$ par $f$.)
\end{propriete}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et $J=f(I)$. La fonction qui à chaque élément $y$ de $J$ associe son unique antécédent $x$ par $f$ est appelée \textbf{la fonction réciproque} de $f$, notée $f^{-1}$.
\end{definition}
\begin{propriete}
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et $f^{-1}$ sa fonction réciproque, alors :
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item $f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J=f(I)$ et a le même sens de variation que $f$.
\item Soient $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ respectivement les courbes de $f$ et $f^{-1}$ dans un repère orthonormé. $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ est le symétrique de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la première bissectrice d'équation $y=x$.
\item Pour tout $x\in I$ et pour tout $y\in J$ : $\quad f(x)=y \Longleftrightarrow f^{-1}(y)=x$.
\item Pour tout $x\in I$ : $f^{-1}(f(x))=x$.
\item Pour tout $y\in J$ : $f(f^{-1}(y))=y$.
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{exercice}
On considère la fonction $f(x)=x^{2}-4x+1$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Montrer que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2,+\infty[$.
\item Soit $g$ la restriction de $f$ sur l'intervalle $[2,+\infty[$.
\begin{enumerate}[a.]
\item Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
\item Calculer $g^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
\begin{exercice}
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{\sqrt{2x-1}-3}{2}$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
\item Calculer $f^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\subsection{Fonction racine $\boldsymbol{n}$-ième}
\begin{definition}
Soit $n$ un entier naturel non nul. La fonction réciproque de la fonction définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $x\mapsto x^{n}$ est appelée la \textbf{fonction racine $n$-ième}, notée $x\mapsto \sqrt[n]{x}$. Le nombre $\sqrt[n]{x}$ est appelé racine $n$-ième de $x$.
\end{definition}
\begin{remarque}
Soient $a,b$ deux nombres positifs et $n$ un entier naturel non nul :
$$
\sqrt[n]{a}=b \Longleftrightarrow a=b^{n}.
$$
\end{remarque}
\begin{exemples}
$$
\sqrt[2]{25}=5 \Longleftrightarrow 5^{2}=25,\qquad
\sqrt[3]{8}=2 \Longleftrightarrow 2^{3}=8,\qquad
\sqrt[3]{27}=3 \Longleftrightarrow 3^{3}=27.
$$
\end{exemples}
\begin{propriete}
La fonction $x\mapsto \sqrt[n]{x}$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty[$ avec : $$ \lim_{x\to +\infty} \sqrt[n]{x}=+\infty.$$
\end{propriete}
\begin{propriete}
Soient $a,b$ deux nombres positifs et $n$ un entier naturel non nul.
\begin{align*}
& \sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{b} \Longleftrightarrow a=b,\qquad
\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b} \Longleftrightarrow a < b, \\[1.2ex]
& \sqrt[n]{a^{n}}=a,\qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^{n}=a, \\[1.2ex]
& \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b},\qquad
\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\qquad
\sqrt[n]{\frac{1}{b}}=\frac{1}{\sqrt[n]{b}}\quad (b\neq 0), \\[1.2ex]
& \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a},\qquad
\sqrt[nm]{a^{m}}=\sqrt[n]{a}.
\end{align*}
\end{propriete}
\begin{exercice}
\begin{enumerate}[1.]
\item Comparer les deux nombres $\sqrt[4]{12}$ et $\sqrt[6]{10}$.
\item Réduire les nombres suivants :
$$
\sqrt[4]{16},\quad \sqrt{\sqrt[3]{36}},\quad \sqrt[3]{0,008},\quad \sqrt[15]{64}.
$$
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt[3]{3x-1}=2$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\subsection{Puissance rationnelle d'un nombre réel strictement positif}
\begin{definition}
Soit $x\in \mathbb{R}^{+*}$ un nombre réel strictement positif et $r=\dfrac{m}{n}\in\mathbb{Q}^{*}$ un nombre rationnel non nul, avec $m\in\mathbb{Z}^{*}$ et $n\in\mathbb{N}^{*}$. On appelle \textbf{puissance rationnelle} de $x$ d'exposant $r$ le nombre noté $x^{r}$ défini par :
$$
x^{r}=x^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^{m}.
$$
Cas particulier :
$$
x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}.
$$
\end{definition}
\begin{exemples}
\begin{itemize}[\textbullet , leftmargin=*]
\item $\displaystyle 36^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt[2]{36}\right)^{3}=6^{3}=216$,
\item $\displaystyle 16^{0,25}=16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$,
\item $\displaystyle 8^{-\frac{1}{3}}=8^{\frac{-1}{3}}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^{-1}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{2}.$
\end{itemize}
\end{exemples}
\begin{propriete}
Pour tout $x\in \mathbb{R}^{+*}$ et $r,r'\in \mathbb{Q}^{*}$ :
$$
x^{r} > 0,\qquad x^{r}=x^{r'} \Longleftrightarrow r=r',\qquad x^{r} < x^{r'} \Longleftrightarrow r < r'.
$$
\end{propriete}
\begin{propriete}
Pour tous $x,y\in \mathbb{R}^{+*}$ et $r,r'\in \mathbb{Q}^{*}$ :
$$
x^{r}x^{r'}=x^{r+r'},\qquad
\frac{x^{r}}{x^{r'}}=x^{r-r'},\qquad
x^{-r}=\frac{1}{x^{r}},
$$
$$
\left(x^{r}\right)^{r'}=x^{rr'},\qquad
x^{r}y^{r}=(xy)^{r},\qquad
\frac{x^{r}}{y^{r}}=\left(\frac{x}{y}\right)^{r}.
$$
\end{propriete}
\begin{exercice}
Réduire les nombres suivants :
$$
a=\frac{3^{\frac{1}{9}}\times 9^{\frac{2}{3}}}{81^{\frac{1}{4}}},\qquad
b=\frac{\sqrt[3]{7}\times 7^{\frac{2}{3}}}{7^{-\frac{1}{5}}}.
$$
\end{exercice}
\begin{exercice}
\begin{enumerate}[1.]
\item Calculer la limite suivante :
$$
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{2x+6}-2}{x-1}.
$$
\item Montrer que la fonction suivante est continue en $2$ :
$$
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sqrt[3]{3x^{2}+15}-3}{x^{2}-2x}, & x\notin\{0,2\} \\[8pt]
\dfrac{2}{9}, & x=2
\end{cases}
$$
\end{enumerate}
\end{exercice}
