\section{Limite d'une fonction en un point}
\subsection{Rappel}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ de centre $a$, sauf peut-être en $a$. On dit que $f$ admet pour \textbf{limite en $a$} un réel $\ell$ si
$$
\forall \varepsilon>0,\ \exists \alpha>0,\ \forall x\in I\setminus\{a\} :\ |x-a|<\alpha \Longrightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon.
$$
On écrit $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ ou $\displaystyle\lim_{a} f(x)=\ell$.
\end{definition}
\begin{exemple}
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{3x+1}{x+1}$.
Montrer, en utilisant la définition, que $\displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=2$.
\end{exemple}
\subsection{Unicité de la limite}
\begin{propriete}
Si une fonction admet une limite en un point, alors cette limite est unique.
\end{propriete}
\subsection{Limites des fonctions usuelles}
\begin{propriete}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Soit $f$ une fonction polynômiale, une fonction rationnelle ou l'une des fonctions $x\mapsto\cos x$, $x\mapsto\sin x$ et $x\mapsto\tan x$. Si $f$ est définie en $a$, alors
$$
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
$$
\item Pour la fonction racine carrée :
$$
\forall a>0,\quad \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}=0.
$$
\item On a les limites suivantes :
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}.
$$
\end{itemize}
\end{propriete}
\subsection{Opérations sur les limites finies}
\begin{propriete}
Soient $a\in\mathbb{R}$ et $f$, $g$ deux fonctions admettant respectivement des limites finies $\ell$ et $\ell'$ en $a$. On a :
$$
\lim_{x\to a}(f+g)(x)=\ell+\ell',\qquad
\lim_{x\to a}(fg)(x)=\ell\ell'.
$$
Si $\ell'\neq 0$, alors :
$$
\lim_{x\to a}\left(\frac{1}{g}\right)(x)=\frac{1}{\ell'},\qquad
\lim_{x\to a}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\ell}{\ell'}.
$$
\end{propriete}
\section{Continuité en un point - Continuité sur un intervalle}
\subsection{Continuité en un point}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est \textbf{continue en $a$} si
$$
\lim_{x \to a} f(x) = f(a).
$$
\end{definition}
\begin{remarques}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item $f$ est continue en $a$ si et seulement si :
$$
\forall \varepsilon>0,\ \exists \alpha>0,\ \forall x\in I :\ |x-a|<\alpha \Longrightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
$$
\item Si la fonction $f$ n'est pas continue en $a$, on dit que $f$ est \textbf{discontinue} en $a$.
\end{itemize}
\end{remarques}
\begin{exercice}
On considère la fonction suivante :
$$
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}, & x \neq 1 \\[6pt]
\dfrac{3}{4}, & x = 1
\end{cases}
$$
Montrer que $f$ est continue en $1$.
\end{exercice}
\subsection{Continuité à droite et continuité à gauche en un point}
\begin{definition}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Soit $a \in \mathbb{R}$ et $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle de type $[a, a+r[$ avec $r > 0$. On dit que $f$ est \textbf{continue à droite en $a$} si
$$
\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a).
$$
\item Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle de type $]a-r, a]$ avec $r > 0$. On dit que $f$ est \textbf{continue à gauche en $a$} si
$$
\lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a).
$$
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{exemple}
On considère la fonction numérique suivante ($E$ désigne la fonction partie entière) :
$$
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{5x^{2}+4}-3}{x-1}, & x > 1 \\[8pt]
\dfrac{E(x)}{x-2}, & x \leq 1
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}[1.]
\item Calculer $f(1)$.
\item Étudier la continuité de $f$ à droite en $1$.
\item Étudier la continuité de $f$ à gauche en $1$.
\item Que peut-on dire de la continuité de $f$ en $1$ ?
\end{enumerate}
\end{exemple}
\begin{propriete}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $a$. $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ est continue à gauche et à droite en $a$.
\end{propriete}
\begin{exercice}
Étudier la continuité de $f$ en $4$ :
$$
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{2\sqrt{x}-\sqrt{x+12}}{x-4}, & x > 4 \\[8pt]
\dfrac{\sin(\pi x)}{x-4}, & x < 4 \\[8pt]
\dfrac{3}{8}, & x = 4
\end{cases}
$$
\end{exercice}
\subsection{Prolongement par continuité en un point}
\begin{exemple}
Soit la fonction $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x-2}$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$.
\item Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x)=\frac{2}{3}$.
\item Montrer que la fonction suivante est continue en $2$ :
$$
g(x)=
\begin{cases}
f(x), & x\neq 2 \\[4pt]
\dfrac{2}{3}, & x=2
\end{cases}
$$
\end{enumerate}
\end{exemple}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction numérique non définie en un point $a$ et admettant une limite finie $\ell$ en $a$. La fonction $g$ définie par
$$
g(x)=
\begin{cases}
f(x), & x\in D_f \\[4pt]
\ell, & x=a
\end{cases}
$$
est continue en $a$ ; elle est appelée le \textbf{prolongement par continuité} de $f$ en $a$.
\end{definition}
\begin{exercice}
Déterminer le prolongement par continuité en $1$ de la fonction
$$
f(x)=\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^{2}-1}.
$$
\end{exercice}
\subsection{Continuité sur un intervalle}
\begin{definition}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item On dit qu'une fonction $f$ est \textbf{continue sur un intervalle ouvert $I$} si elle est continue en tout point de $I$.
\item On dit que $f$ est continue sur l'intervalle fermé $[a,b]$ si elle est continue sur l'intervalle ouvert $]a,b[$ et est continue à droite en $a$ et à gauche en $b$.
\end{itemize}
De même, on définit la continuité de $f$ sur les autres types d'intervalles.
\end{definition}
\begin{propriete}{Continuité des fonctions usuelles}
Les fonctions polynômiales, les fonctions rationnelles, la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ et les fonctions trigonométriques $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$ sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.
\end{propriete}
\begin{propriete}{Opérations sur les fonctions continues}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur l'intervalle $I$, alors les fonctions $f+g$, $f-g$, $fg$, $kf$ (avec $k\in\mathbb{R}$) et $|f|$ sont continues sur $I$.
\item Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur l'intervalle $I$, telle que $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors les fonctions $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont continues sur $I$.
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{exercice}
Étudier la continuité des fonctions suivantes sur l'intervalle $I$ :
\begin{enumerate}[1)]
\item $f(x)=x^{3}+3x-1$ ; $I=\mathbb{R}$.
\item $f(x)=\dfrac{x^{2}+2}{x-1}$ ; $I=]1,+\infty[$.
\item $f(x)=\sqrt{x}\sin x$ ; $I=\mathbb{R}^{+}$.
\item $f(x)=\dfrac{\cos x}{x^{2}-3x}$ ; $I=]0,3[$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\subsection{La composée de deux fonctions}
\subsubsection{Continuité de la composée de deux fonctions}
\begin{propriete}
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction continue sur un intervalle $J$ tel que $f(I)\subset J$, alors la fonction composée $g\circ f$ est continue sur $I$.
\end{propriete}
\begin{proof}
Soient $a\in I$ et $\varepsilon>0$.
Puisque $g$ est continue en $f(a)$, il existe $\beta>0$ tel que
\begin{equation*}
\forall y\in J :\ |y-f(a)|<\beta \Longrightarrow \bigl|g(y)-g(f(a))\bigr|<\varepsilon, \tag{1}
\end{equation*}
et puisque $f$ est continue en $a$, il existe $\alpha>0$ tel que
\begin{equation*}
\forall x\in I :\ |x-a|<\alpha \Longrightarrow |f(x)-f(a)|<\beta. \tag{2}
\end{equation*}
Comme $f(x)\in J$ pour tout $x\in I$, on déduit de (1) et (2) que
$$
\forall x\in I :\ |x-a|<\alpha \Longrightarrow \bigl|g(f(x))-g(f(a))\bigr|<\varepsilon.
$$
Ainsi
$$
\forall \varepsilon>0,\ \exists \alpha>0,\ \forall x\in I :\ |x-a|<\alpha \Longrightarrow |g\circ f(x)-g\circ f(a)|<\varepsilon,
$$
d'où $\displaystyle\lim_{x\to a} g\circ f(x)=g\circ f(a)$. Donc $g\circ f$ est continue en $a$, et ceci pour tout $a\in I$.
\end{proof}
\begin{corollaire}
Si une fonction $f$ est continue et positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $x\mapsto \sqrt{f(x)}$ est continue sur $I$.
\end{corollaire}
\begin{exercice}
$\text{}$
\begin{enumerate}[1.]
\item Montrer que la fonction $h(x)=\sin\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right)$ est continue sur $]1,+\infty[$.
\item Montrer que la fonction $f(x)=\sqrt{x^{2}-x+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\subsubsection{Composée d'une fonction continue et d'une fonction admettant une limite}
\begin{propriete}
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle pointé $I=]a-r,a+r[\setminus\{a\}$ $(r>0)$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $J$ contenant un réel $\ell$, tels que $f(I)\subset J$. Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ et $g$ est continue en $\ell$, alors
$$
\lim_{x\to a} g\circ f(x)=g(\ell).
$$
\end{propriete}
\begin{remarque}
La propriété reste valable lorsque $x$ tend vers $a$ à droite ou à gauche, ainsi qu'en $+\infty$ ou en $-\infty$.
\end{remarque}
\begin{exercice}
Calculer la limite suivante :
$$
\lim_{x\to 0}\cos\left(\frac{\pi\sin x}{4x}\right).
$$
\end{exercice}
\subsection{Image d'un intervalle par une fonction continue}
\begin{propriete}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item L'image d'un intervalle $I$ par une fonction continue $f$ est un intervalle, noté $f(I)$.
\item L'image d'un segment (intervalle fermé) par une fonction continue $f$ est un segment. Autrement dit, $f([a,b])=[m,M]$ où $m$ et $M$ sont respectivement le minimum et le maximum de $f$ sur $[a,b]$.
\end{itemize}
\end{propriete}
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.\begin{exercice}
On considère la fonction $f(x)=\dfrac{x^{2}+x-1}{x-1}$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer les images par $f$ des intervalles suivants :
$$[-1,0] \quad;\quad [2,3] \quad;\quad [0,1[ \quad;\quad ]1,2] \quad;\quad [2,+\infty[ \quad;\quad ]-\infty,0] \quad;\quad ]1,+\infty[.$$
\end{enumerate}
\end{exercice}
\subsection{Théorème des valeurs intermédiaires}
\begin{theorem}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a,b]$.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$.
\item Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$.
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Puisque $f$ est continue sur $[a,b]$, on a $f([a,b])=[m,M]$ où $m$ et $M$ sont respectivement le minimum et le maximum de $f$ sur $[a,b]$. Supposons $f(a)f(b)$ est analogue). Puisque $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, on a
$$
k\in\bigl[f(a),f(b)\bigr]\subset[m,M]=f([a,b]).
$$
Ainsi, il existe au moins $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$.
\item Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, alors $c$ est unique : en effet, s'il existait deux réels distincts $c,c'\in[a,b]$ tels que $f(c)=f(c')=k$, cela contredirait la stricte monotonie de $f$.
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{corollaire}
Si $f$ est une fonction \textbf{continue} sur un intervalle $\boldsymbol{[a,b]}$ avec $\boldsymbol{f(a)\times f(b) < 0}$, alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution $c$ dans l'intervalle ouvert $]a,b[$.
\end{corollaire}
\begin{corollaire}
Si $f$ est une fonction \textbf{continue et strictement monotone} sur $\boldsymbol{[a,b]}$ avec $\boldsymbol{f(a)\times f(b) < 0}$, alors l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $c$ dans l'intervalle ouvert $]a,b[$.
\end{corollaire}
\begin{exercice}
$\text{}$
\begin{enumerate}[1.]
\item Montrer que l'équation $x^{4}-5x=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]1,2[$.
\item Montrer que l'équation $x^{3}-3x^{2}+1=0$ admet une unique solution $\alpha$ telle que $0<\alpha<1$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\section*{Série d'exercices 1}
\begin{exoserie}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=E(x)+\bigl(x-E(x)\bigr)^{2}$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Étudier la continuité de la fonction $f$ en $2$.
\item Étudier la continuité de la fonction $f$ en $\sqrt{2}$.
\item Étudier la continuité de la fonction $f$ sur $]1,3[$.
\end{enumerate}
\end{exoserie}
\begin{exoserie}
Soit $f$ la fonction définie par
$$
f(x)=\frac{\sqrt{x+8}}{x-1}+\frac{6|x|}{1-x^{2}}.
$$
\begin{enumerate}[1.]
\item Déterminer le domaine de définition de $f$.
\item Calculer les limites :
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to -1^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -1^-} f(x)$.
\item Est-ce que $f$ admet un prolongement par continuité en $1$ ?
\end{enumerate}
\end{exoserie}
\begin{exoserie}
\begin{enumerate}[1.]
\item Montrer que l'équation $x^{3}-\dfrac{1}{x}=3$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$.
\item Montrer que la courbe de la fonction $f(x)=\sin x+x-1$ coupe l'axe des abscisses en un unique point dans l'intervalle $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$.
\item Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe au moins un réel $c\in]0,1[$ tel que $f(c)=\dfrac{1-c}{1+c}$.
\item Soient $a,b\in\mathbb{R}$. Montrer que l'équation $x^{3}+ax+b=0$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$.
\item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a
