\section{Fonctions dérivables}
\subsection{Nombre dérivé - Fonction dérivée}
\begin{activite}
On considère la fonction $f$ définie sur $[1,+\infty[$ par
$$
f(x)=x\sqrt{x-1}.
$$
Soit $(\mathcal{C}_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}[1.]
\item Étudier la dérivabilité de $f$ en $2$.
\item Donner l'équation cartésienne de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C}_f)$ au point $A$ d'abscisse $2$.
\item En déduire la fonction affine tangente à $f$ en $2$.
\item Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $1$, en déduire une interprétation géométrique.
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $]1,+\infty[$, puis calculer $f'(x)$ pour tout $x>1$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{activite}
\begin{definition}
Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$, $a$ un réel de $I$ et $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item $f$ est \textbf{dérivable en $a$} s'il existe un réel $\ell$ tel que
$$
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell
\quad\text{ou}\quad
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\ell.
$$
Le nombre $\ell$ est appelé \textbf{nombre dérivé} de la fonction $f$ en $a$ et est noté $f'(a)$.
\item On dit que $f$ est \textbf{dérivable sur $I$} si elle est dérivable en tout point de $I$. La \textbf{fonction dérivée} de $f$ sur $I$ est la fonction $f'$ qui à tout $x$ de $I$ associe $f'(x)$.
\item Si $f$ est dérivable en $a$, alors :
\begin{itemize}[\textbullet , leftmargin=*]
\item $(\mathcal{C}_f)$ admet une tangente $T$ au point $A$ d'abscisse $a$, d'équation :
$$
y=f'(a)(x-a)+f(a).
$$
\item La fonction $g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$ est appelée \textbf{fonction affine tangente} à $f$ en $a$.
\item Le nombre $f'(a)(x-a)+f(a)$ est appelé \textbf{approximation affine} de $f(x)$ pour $x$ très proche de $a$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{definition}
\subsection{Dérivabilité et continuité}
\begin{propriete}
Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$.
La fonction $f$ est dérivable en $a$ si, et seulement si, il existe un réel $\ell$ et une fonction $\varphi$ définie sur $I$ tels que
$$
\forall x\in I :\quad f(x)=\ell(x-a)+f(a)+(x-a)\varphi(x)
\quad\text{avec}\quad \lim_{x\to a}\varphi(x)=0.
$$
(Cette propriété reste valable si $I$ n'est pas ouvert. Lorsque $a$ est l'extrémité gauche (resp. droite) de $I$, il s'agit alors de la dérivabilité de $f$ à droite (resp. à gauche) en $a$, et la limite de $\varphi$ est une limite à droite (resp. à gauche) en $a$.)
\end{propriete}
\begin{proof}
($\Longrightarrow$) Supposons que $f$ est dérivable en $a$. Alors
$$
\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right)=0.
$$
Considérons la fonction $\varphi$ définie sur $I$ par :
$$
\varphi(x)=
\begin{cases}
\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a), & x\neq a \\[8pt]
0, & x=a
\end{cases}
$$
$\varphi$ est le prolongement par continuité en $a$ de la fonction $x\mapsto\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)$. On a $\displaystyle\lim_{x\to a}\varphi(x)=0$ et, pour tout $x\in I$ :
$$
f(x)=f'(a)(x-a)+f(a)+(x-a)\varphi(x).
$$
Ici, $\ell=f'(a)$.
($\Longleftarrow$) Supposons maintenant qu'il existe un réel $\ell$ et une fonction $\varphi$ définie sur $I$ tels que : $\forall x\in I,\ f(x)=\ell(x-a)+f(a)+(x-a)\varphi(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to a}\varphi(x)=0$. On a donc
$$
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\bigl(\ell+\varphi(x)\bigr)=\ell.
$$
Ainsi $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a)=\ell$.
\end{proof}
\begin{propriete}
Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
\item Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.
\end{itemize}
(Lorsque $a$ est l'extrémité gauche (resp. droite) de $I$, la dérivabilité et la continuité de $f$ en $a$ s'entendent à droite (resp. à gauche).)
\end{propriete}
\begin{proof}
Il suffit d'utiliser la propriété précédente. Si $f$ est dérivable en $a$, alors il existe un réel $\ell$ et une fonction $\varphi$ définie sur $I$ tels que $$\forall x\in I,\ f(x)=\ell(x-a)+f(a)+(x-a)\varphi(x) \text{ et } \displaystyle\lim_{x\to a}\varphi(x)=0.$$ Ainsi
$$
\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}\bigl[\ell(x-a)+f(a)+(x-a)\varphi(x)\bigr]=f(a).
$$
Donc $f$ est continue en $a$.
Le second point s'en déduit en appliquant le premier en chaque point de $I$.
\end{proof}
\begin{remarque}
La réciproque de cette propriété n'est pas toujours vraie. En effet, la fonction valeur absolue $x\mapsto|x|$ est continue en $0$ mais n'est pas dérivable en $0$.
\end{remarque}
\subsection{Dérivées des fonctions usuelles}
\begin{center}
{\small
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{La fonction $\boldsymbol{f}$} & \textbf{La fonction $\boldsymbol{f'}$} & \textbf{Intervalles de dérivabilité de $\boldsymbol{f}$} \\
\hline
$k$ (constante) & $0$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x$ & $1$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^{n} \ (n\in\mathbb{Z}^{*})$ & $nx^{n-1}$ &
$\left\{
{\nomakegapedcells
\begin{tabular}{@{}l@{\quad}l@{}}
$\mathbb{R}$, & si $n>0$ \\
$]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$, & si $n<0$
\end{tabular}}
\right.$ \\
\hline
$\dfrac{1}{x}$ & $-\dfrac{1}{x^{2}}$ & $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$ \\
\hline
$\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $]0;+\infty[$ \\
\hline
$\cos x$ & $-\sin x$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\sin x$ & $\cos x$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\tan x$ & $1+\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ & Les intervalles $\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[$, $k\in\mathbb{Z}$ \\
\hline
\end{tabular}
}
\end{center}
\subsection{Dérivées et opérations sur les fonctions}
\begin{propriete}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel. Alors $f+g$, $fg$ et $kf$ sont dérivables sur $I$ et :
$$
(f+g)'=f'+g', \qquad (fg)'=f'g+fg', \qquad (kf)'=kf',
$$
Si, de plus, $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont dérivables sur $I$ et :
$$
\left(\frac{1}{g}\right)'=-\frac{g'}{g^{2}},\qquad
\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}.
$$
\end{propriete}
\subsection{Dérivée de la fonction composée}
\begin{propriete}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ tel que $f(I)\subset J$ (c'est-à-dire : pour tout $x\in I$, $f(x)\in J$). Alors la composée $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$ :
$$
(g\circ f)'(x)=f'(x)\times g'\bigl(f(x)\bigr).
$$
\end{propriete}
\begin{propriete}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Soit $n\in\mathbb{Z}^{*}$. Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ (et qui ne s'annule pas sur $I$ lorsque $n\in\mathbb{Z}^{-*}$), alors la fonction $f^{n}$ est dérivable sur $I$ et
$$
(f^{n})'=nf'f^{n-1}.
$$
\item Si $f$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $\sqrt{f}$ est dérivable sur $I$ et
$$
\left(\sqrt{f}\right)'=\frac{f'}{2\sqrt{f}}.
$$
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{exercice}
$\text{}$
\begin{enumerate}[A)]
\item Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ et calculer $f'(x)$ pour tout $x\in I$ dans les cas suivants :
\begin{enumerate}[1.]
\item $f(x)=5x^{3}+3x-2$ ; $I=\mathbb{R}$.
\item $f(x)=x^{4}\sin x$ ; $I=\mathbb{R}$.
\item $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}$ ; $I=\mathbb{R}$.
\item $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$ ; $I=]1,+\infty[$.
\item $f(x)=(x^{2}+x)^{5}$ ; $I=\mathbb{R}$.
\item $f(x)=(x^{3}-x)^{-3}$ ; $I=]0,1[$.
\item $f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x^{2}+1}}$ ; $I=\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\item Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
$$
f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\quad ;\quad f(x)=\cos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-x}^3}\right).
$$
\end{enumerate}
\end{exercice}
\section{Fonction réciproque}
\subsection{Théorème de la fonction réciproque}
\begin{theorem}
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ est une \textbf{bijection} de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$, c'est-à-dire :
$$
\forall y\in J,\ \exists!\, x\in I :\ f(x)=y.
$$
\end{theorem}
\begin{proof}
Puisque $f$ est continue sur l'intervalle $I$, $f(I)$ est un intervalle ; notons-le $J$. D'après la définition de l'image d'un intervalle, on a :
$$
\forall y\in J,\ \exists x\in I :\ f(x)=y.
$$
Ainsi $f:I\to J$ est surjective.
Soient $a$ et $b$ deux éléments de $I$. On a :
\begin{align*}
a\neq b &\Longrightarrow ab \\
&\Longrightarrow f(a)f(b) \\
&\Longrightarrow f(a)\neq f(b).
\end{align*}
Donc $f:I\to J$ est injective. Ainsi, $f:I\to J$ est bijective.
\end{proof}
\begin{propriete}
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ et $f^{-1}$ sa fonction réciproque, alors :
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item $f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J=f(I)$ et a le même sens de variation que $f$.
\item Les courbes des fonctions $f$ et $f^{-1}$ dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation $y=x$.
\item Pour tout $x\in I$ et pour tout $y\in J$ : $\quad f(x)=y \Longleftrightarrow f^{-1}(y)=x$.
\item Pour tout $x\in I$ : $f^{-1}\circ f(x)=x$.
\item Pour tout $y\in J$ : $f\circ f^{-1}(y)=y$.
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{exercice}
On considère la fonction $f$ définie sur $\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{\sqrt{2x-1}-3}{2}$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Montrer que $f$ est bijective de $\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right[$ sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
\item Calculer $f^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\subsection{Dérivée de la fonction réciproque}
\begin{propriete}
Soient $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, $a\in I$ et $b=f(a)$.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Si $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a)\neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$, avec
$$
(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
$$
\item Si $f$ est dérivable sur $I$ avec $f'(x)\neq 0$ pour tout $x\in I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J=f(I)$ et, pour tout $x\in J$ :
$$
(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}.
$$
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $I=\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ par $f(x)=x\sin x$.
\begin{enumerate}[1.]
\item Montrer que $f$ est bijective de $I=\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
\item Calculer $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ et montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $\dfrac{\pi}{12}$. Calculer $(f^{-1})'\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\section{Exemples de fonctions réciproques}
\subsection{La fonction arctangente}
\begin{propdef}
La fonction $x\mapsto\tan x$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ et $\tan\left(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\right)=\mathbb{R}$ ; elle est donc bijective de $\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction réciproque de $\tan$ est appelée \textbf{arctangente} et est notée $\arctan$.
\end{propdef}\begin{propriete}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item $\forall x\in\mathbb{R},\ \arctan(-x)=-\arctan x$ (la fonction $\arctan$ est \textbf{impaire}).
\item $\forall x\in\mathbb{R},\ \forall y\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ :\ \arctan x=y \Longleftrightarrow \tan y=x$.
\item $\forall x\in\mathbb{R},\ \tan(\arctan x)=x$.
\item $\forall x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[,\ \arctan(\tan x)=x$.
\item $\forall (x,x')\in\mathbb{R}^{2},\ \arctan x=\arctan x' \Longleftrightarrow x=x'$.
\item $\forall (x,x')\in\mathbb{R}^{2},\ \arctan x<\arctan x' \Longleftrightarrow x0,\ \arctan x+\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\pi}{2}$.
\item En déduire que $\forall x<0,\ \arctan x+\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{\pi}{2}$.
\end{enumerate}
\item Calculer les limites suivantes :
$$
\lim_{x\to 0^{+}}(x^{2}+2)\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\quad ;\quad
\lim_{x\to +\infty}(x^{2}+1)\arctan\left(\frac{1}{x}\right).
$$
\item Étudier la dérivabilité de la fonction $f(x)=\arctan\left(\dfrac{x}{x^{2}+1}\right)$ et déterminer sa fonction dérivée.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\subsection{La fonction racine $\boldsymbol{n}$-ième}
Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$. La fonction $f(x)=x^{n}$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\mathbb{R}^{+}$, avec
$$
f(\mathbb{R}^{+})=\Bigl[f(0),\ \lim_{x\to+\infty}f(x)\Bigr[=[0,+\infty[,
$$
donc $f$ est bijective de $\mathbb{R}^{+}$ sur $\mathbb{R}^{+}$.
\begin{definition}
Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$. La fonction réciproque de la fonction définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $x\mapsto x^{n}$ est appelée la \textbf{fonction racine $n$-ième}, notée $x\mapsto\sqrt[n]{x}$. Le nombre $\sqrt[n]{x}$ est appelé racine $n$-ième de $x$.
\end{definition}\begin{resultats}
Soient $n\in\mathbb{N}^{*}$ et $x,y\in\mathbb{R}^{+}$.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item $\sqrt[n]{x}=y \Longleftrightarrow x=y^{n}$.
\item $\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{y} \Longleftrightarrow x=y$.
\item $\sqrt[n]{x}<\sqrt[n]{y} \Longleftrightarrow x\subsection{Axe de symétrie et centre de symétrie}
\begin{propriete}
Soit $f$ une fonction et $D_f$ son ensemble de définition. Soient $a$ et $b$ deux réels.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item La droite d'équation $x=a$ est un \textbf{axe de symétrie} de $(\mathcal{C}_f)$ si, et seulement si :
$$
\forall x\in D_f :\quad 2a-x\in D_f\ \text{ et }\ f(2a-x)=f(x).
$$
\item Le point $I(a,b)$ est un \textbf{centre de symétrie} de $(\mathcal{C}_f)$ si, et seulement si :
$$
\forall x\in D_f :\quad 2a-x\in D_f\ \text{ et }\ f(2a-x)=2b-f(x).
$$
\end{itemize}
\end{propriete}
\subsection{Fonction périodique}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble $D_f$. On dit que $f$ est une \textbf{fonction périodique} s'il existe un réel $T>0$ tel que :
$$
\forall x\in D_f,\quad x+T\in D_f\ \text{ et }\ f(x+T)=f(x). \tag{$*$}
$$
Le nombre $T$ est appelé \textbf{période} de $f$. En général, on choisit comme période de $f$ le plus petit nombre $T>0$ vérifiant les conditions $(*)$.
\end{definition}
\begin{remarque}
Pour tout $x\in D_f$ et pour tout $n\in\mathbb{Z}$ :
$$
f(x+nT)=f(x)\qquad ;\qquad f(x-nT)=f(x).
$$
\end{remarque}
\subsection{Concavité d'une fonction - Points d'inflexion}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item On dit que $(\mathcal{C}_f)$ est \textbf{convexe} sur $I$ si elle est au-dessus de toutes ses tangentes.
\item On dit que $(\mathcal{C}_f)$ est \textbf{concave} sur $I$ si elle est au-dessous de toutes ses tangentes.
\item On dit que le point $A\bigl(a,f(a)\bigr)$ est un \textbf{point d'inflexion} de $(\mathcal{C}_f)$ si $(\mathcal{C}_f)$ change de concavité en $A$.
\end{itemize}
\end{definition}\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item $(\mathcal{C}_f)$ est convexe sur $[x_0,b]$.
\item $(\mathcal{C}_f)$ est concave sur $[a,x_0]$.
\item $I$ est un point d'inflexion de $(\mathcal{C}_f)$.
\end{itemize}
\begin{propriete}
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Si $f''$ est positive sur $I$, alors $(\mathcal{C}_f)$ est convexe sur $I$.
\item Si $f''$ est négative sur $I$, alors $(\mathcal{C}_f)$ est concave sur $I$.
\item Si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe au voisinage de $a$, alors le point $A\bigl(a,f(a)\bigr)$ est un point d'inflexion de $(\mathcal{C}_f)$.
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{propriete}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$. Si $f'$ s'annule en $a$ sans changer de signe au voisinage de $a$, alors le point $A\bigl(a,f(a)\bigr)$ est un point d'inflexion de $(\mathcal{C}_f)$.
\end{propriete}
\subsection{Les branches infinies}
\subsubsection{Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées (asymptote verticale)}
\begin{definition}
Si $\displaystyle\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\pm\infty$ $\Bigl($ou $\displaystyle\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\pm\infty\Bigr)$, on dit que la droite d'équation $x=a$ est une \textbf{asymptote} de $(\mathcal{C}_f)$ parallèle à l'axe des ordonnées au voisinage de $a$ à droite (ou à gauche).
\end{definition}
\subsubsection{Asymptote parallèle à l'axe des abscisses (asymptote horizontale)}
\begin{definition}
Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ $\Bigl($ou $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=b\Bigr)$ avec $b\in\mathbb{R}$, on dit que la droite d'équation $y=b$ est une \textbf{asymptote} de $(\mathcal{C}_f)$ parallèle à l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$ (ou $-\infty$).
\end{definition}
\begin{remarque}
Le signe de la différence $f(x)-b$ permet de déterminer la position relative de $(\mathcal{C}_f)$ et de l'asymptote horizontale d'équation $y=b$.
\end{remarque}
\subsubsection{Asymptote oblique}
\begin{definition}
Soient $f$ une fonction admettant une limite infinie en $+\infty$ (ou $-\infty$), $a\in\mathbb{R}^{*}$ et $b\in\mathbb{R}$. Si $$ \lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=0 \;(\text{ou } \lim_{x\to-\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=0),$$ on dit que la droite d'équation $y=ax+b$ est une \textbf{asymptote oblique} de $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $+\infty$ (ou $-\infty$).
\end{definition}
\begin{propriete}
La droite d'équation $y=ax+b$ $(a\neq 0)$ est une asymptote oblique de $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $+\infty$ (ou $-\infty$) si, et seulement si,
\begin{gather*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a\quad\text{et}\quad\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-ax\bigr]=b \\
\Bigl(\text{ou } \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=a\quad\text{et}\quad\lim_{x\to-\infty}\bigl[f(x)-ax\bigr]=b\Bigr).
\end{gather*}
\end{propriete}
\begin{remarque}
Le signe de la différence $f(x)-(ax+b)$ permet de déterminer la position relative de $(\mathcal{C}_f)$ et de l'asymptote oblique d'équation $y=ax+b$.
\end{remarque}
\subsubsection{Branches paraboliques}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction admettant une limite infinie en $+\infty$ (ou $-\infty$).
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Si
$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0\qquad\Bigl(\text{ou } \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=0\Bigr),
$$
on dit que $(\mathcal{C}_f)$ admet une \textbf{branche parabolique de direction l'axe des abscisses} au voisinage de $+\infty$ (ou $-\infty$).
\item Si
$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\pm\infty\qquad\Bigl(\text{ou } \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\pm\infty\Bigr),
$$
on dit que $(\mathcal{C}_f)$ admet une \textbf{branche parabolique de direction l'axe des ordonnées} au voisinage de $+\infty$ (ou $-\infty$).
\item Si
\begin{gather*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a\neq 0\quad\text{et}\quad\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-ax\bigr]=\pm\infty \\
\Bigl(\text{ou } \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=a\neq 0\quad\text{et}\quad\lim_{x\to-\infty}\bigl[f(x)-ax\bigr]=\pm\infty\Bigr),
\end{gather*}
on dit que $(\mathcal{C}_f)$ admet une \textbf{branche parabolique de direction la droite} d'équation $y=ax$ au voisinage de $+\infty$ (ou $-\infty$).
\end{itemize}
\end{definition}
\subsection{Remarques}
\begin{remarques}
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item Si $f$ est définie en $0$, le point d'intersection de la courbe de $f$ avec l'axe des ordonnées est $E\bigl(0,f(0)\bigr)$.
\item $A(a,0)$ est un point d'intersection de la courbe de $f$ avec l'axe des abscisses si, et seulement si, $f(a)=0$. Autrement dit, les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de $(\mathcal{C}_f)$ avec l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\end{remarques}
\subsection{Axe de symétrie et centre de symétrie}
\begin{propriete}
Soit $f$ une fonction et $D_f$ son ensemble de définition. Soient $a$ et $b$ deux réels.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item La droite d'équation $x=a$ est un \textbf{axe de symétrie} de $(\mathcal{C}_f)$ si, et seulement si :
$$
\forall x\in D_f :\quad 2a-x\in D_f\ \text{ et }\ f(2a-x)=f(x).
$$
\item Le point $I(a,b)$ est un \textbf{centre de symétrie} de $(\mathcal{C}_f)$ si, et seulement si :
$$
\forall x\in D_f :\quad 2a-x\in D_f\ \text{ et }\ f(2a-x)=2b-f(x).
$$
\end{itemize}
\end{propriete}
\subsection{Fonction périodique}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble $D_f$. On dit que $f$ est une \textbf{fonction périodique} s'il existe un réel $T>0$ tel que :
$$
\forall x\in D_f,\quad x+T\in D_f\ \text{ et }\ f(x+T)=f(x). \tag{$*$}
$$
Le nombre $T$ est appelé \textbf{période} de $f$. En général, on choisit comme période de $f$ le plus petit nombre $T>0$ vérifiant les conditions $(*)$.
\end{definition}
\begin{remarque}
Pour tout $x\in D_f$ et pour tout $n\in\mathbb{Z}$ :
$$
f(x+nT)=f(x)\qquad ;\qquad f(x-nT)=f(x).
$$
\end{remarque}
\subsection{Concavité d'une fonction - Points d'inflexion}
\begin{definition}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
\begin{itemize}[— , leftmargin=*]
\item On dit que $(\mathcal{C}_f)$ est \textbf{convexe} sur $I$ si elle est au-dessus de toutes ses tangentes.
\item On dit que $(\mathcal{C}_f)$ est \textbf{concave} sur $I$ si elle est au-dessous de toutes ses tangentes.
\item On dit que le point $A\bigl(a,f(a)\bigr)$ est un \textbf{point d'inflexion} de $(\mathcal{C}_f)$ si $(\mathcal{C}_f)$ change de concavité en $A$.
\end{itemize}
\end{definition}