Fonctions Logarithmiques

1. Fonction logarithme népérien

Définition de la fonction $\ln$

Définition. La fonction logarithme népérien notée $\ln$ est la primitive de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $]0; +\infty[$ qui s’annule en 1. C’est-à-dire :

$$\ln(1) = 0 \quad ; \quad \forall x > 0 \quad \ln'(x) = \frac{1}{x}$$

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Monotonie de la fonction $\ln$

Propriété.

• La fonction $\ln$ est définie, continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$.

• Pour tout $(x, y) \in ]0, +\infty[^2$, on a :

  $$\ln(x) < \ln(y) \Longleftrightarrow x < y$$
  $$\ln(x) = \ln(y) \Longleftrightarrow x = y$$

  Autrement dit, le signe de $\ln(x) - \ln(y)$ est le signe de $x - y$.

• Pour tout $x \in ]0, +\infty[$, on a :

  $$\begin{align*} &\ln(x) = 0 \Longleftrightarrow x = 1. \\ &\ln(x) > 0 \Longleftrightarrow x > 1. \\ &\ln(x) \leq 0 \Longleftrightarrow 0 < x \leq 1. \end{align*}$$

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Propriétés algébriques

Propriété principale. Pour tous nombres réels $x > 0$ et $y > 0$, on a :

$$\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$$

Propriété. Pour $x > 0$, $y > 0$ et $r \in \mathbb{Q}$, on a :

$$\begin{align*} \ln(xy) &= \ln(x) + \ln(y) \quad ; \quad \ln\left(\prod_{k=1}^{n} x_k\right) = \sum_{k=1}^{n} \ln(x_k) \quad (\forall x_k > 0)\\ \ln\left(\frac{x}{y}\right) &= \ln(x) - \ln(y) \quad ; \quad \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln(x) \quad ; \quad \ln(x^r) = r\ln(x) \end{align*}$$

Remarque.

• Pour $x < 0$ et $y < 0$ on a :

  $$\ln(xy) = \ln(|x|) + \ln(|y|) \quad ; \quad \ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(|x|) - \ln(|y|)$$

• Pour $x > 0$ on a :

  $$\ln(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n}\ln(x)$$

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Exercice 1.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les (in)équations suivantes :

$$\ln(x^2 - x) = \ln(4x - 6) \quad ; \quad \ln(10 + 7x - 3x^2) < \ln(14 - x)$$$$\ln(3x^2 - 5x) \leq \ln(x) + \ln(2)$$

2. Écrire en fonction de $\ln(a)$ et $\ln(b)$ le nombre $\ln\left(\dfrac{1}{\sqrt[6]{a^7 b}}\right)$.

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Le nombre $e$

Propriété. L’équation $\ln x = 1$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}_+^*$ que l’on note $e$ ($e = 2{,}718281828\ldots$) :

$$\ln e = 1$$

Résultats.

• Pour tout $r \in \mathbb{Q}$, on a :

  $$\ln e^r = r$$

• Pour tout $x > 0$, $y > 0$, et $r \in \mathbb{Q}$, on a :

  $$\begin{align*} > &\ln(x) = r \Longleftrightarrow x = e^r. \\ > &\ln(x) < r \Longleftrightarrow x < e^r. > \end{align*}$$

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Étude de la fonction $\ln$

• Les limites usuelles

Propriété.

$$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$$

Preuve.

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• Tableau de variations de $\ln$

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$\ln'(x)$		$+$		$+$
$\ln(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

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• Les branches infinies

Propriété.

• L’axe des ordonnées est asymptote à la courbe de $\ln$ au voisinage de $0$ à droite : $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$.

• La courbe de $\ln$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de $+\infty$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.

Preuve.

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• Concavité de la courbe de $\ln$

Propriété. La courbe de $\ln$ est concave.

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• Limites importantes

Propriété.

$$\begin{align*} > &\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\\[0.3cm] > &\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to 0^+} x^r\ln x = 0 \quad (r \in \mathbb{Q}^{*+})\\[0.3cm] > &\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^r} = 0 \quad (r \in \mathbb{Q}^{*+})\\[0.3cm] > &\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1 > \end{align*}$$

Preuve.

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• Dérivée logarithmique

Propriété.

• Si $f$ est dérivable et strictement positive sur $I$, alors $\ln(f)$ est dérivable sur $I$ et :

  $$\forall x \in I : \quad [\ln(f)]'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$$

• Si $f$ est dérivable et ne s’annule pas sur $I$, alors :

  • la fonction $\ln|f|$ est dérivable sur $I$ telle que : $$\forall x\in I, \quad [\ln|f|]'(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,;$$
  • Les primitives de $x \mapsto \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ sur $I$ sont les fonctions $$x \mapsto \ln|f| + c \quad : \quad c \in \mathbb{R}.$$

Définition. Si $f$ est dérivable et ne s’annule pas sur $I$, la fonction $\boldsymbol{\dfrac{f'}{f}}$ est appelée la dérivée logarithmique de $f$ sur $I$.

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Exercice 2.

1. Calculer les limites suivantes :

$$\begin{align*} &\textbf{(1)}\ \lim_{x \to -\infty} x^2 \ln\!\left(1 + \frac{4}{x^2}\right) &&\textbf{(2)}\ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{\ln|x^2 - 1|}\\ &\textbf{(3)}\ \lim_{x \to 3} \frac{2x}{x - 3} \ln\!\left(\frac{x}{3}\right) &&\textbf{(4)}\ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[6]{\ln(x^2 + 3)}}{\sqrt[7]{x\sqrt{x}+1}} \end{align*}$$

2. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

$$f(x) = \ln\left|\frac{2x - \sqrt{x}}{x - 3}\right| \quad ; \quad g(x) = \ln\left|\frac{x^2 - 5x + 4}{2x^2 + 3x + 1}\right| \quad ; \quad h(x) = \ln\!\left(\frac{1}{2 - \ln(x)}\right)$$

3. Déterminer sur $I$ les primitives de $f$ dans chaque cas :

$$\begin{align*} &\textbf{(1)}\quad f(x) = \frac{\sin(2x)}{5 + \sin^2 x} \quad ; \quad I = \mathbb{R}\\ &\textbf{(2)}\quad f(x) = \frac{\ln(x)}{x(1 + \ln^2(x))} \quad ; \quad I = ]0; +\infty[ \end{align*}$$

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2. Fonction logarithme de base $a$

Définition. Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$. La fonction logarithme de base $a$ notée $\log_a$ est définie sur $]0,+\infty[$ par :

$$\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$

Remarque.

• La fonction logarithme de base $e$ est le logarithme népérien :

  $$\forall x>0, \quad \log_e(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(e)} = \ln(x)$$

• $\log_a(1) = 0 \quad ; \quad \log_a(a) = 1 \quad ; \quad \forall r \in \mathbb{Q},\ \log_a(a^r) = r$

• $\log_a$ est définie et continue sur $]0; +\infty[$ et :

  $$\forall x>0,\quad \log'_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}$$

• Si $a > 1$ : $\log_a$ est strictement croissante, $\lim\limits_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \log_a x = +\infty$.

• Si $0 < a < 1$ : $\log_a$ est strictement décroissante, $\lim\limits_{x \to 0^+} \log_a x = +\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \log_a x = -\infty$.

• Les propriétés algébriques de $\ln$ restent valables pour $\log_a$.

Propriété. Soient $x > 0$, $y > 0$ et $r \in \mathbb{Q}$ :

• $\log_a(x) = \log_a(y) \Leftrightarrow x = y \quad ; \quad \log_a(x) = r \Leftrightarrow x = a^r$

• Si $a > 1$ : $\log_a(x) < \log_a(y) \Leftrightarrow x < y \quad ; \quad \log_a(x) < r \Leftrightarrow x < a^r$

• Si $0 < a < 1$ : $\log_a(x) < \log_a(y) \Leftrightarrow x > y \quad ; \quad \log_a(x) < r \Leftrightarrow x > a^r$

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3. Fonction logarithme décimale

Définition. La fonction logarithme de base $10$, notée $\log_{10}$ ou simplement $\log$, est appelée fonction logarithme décimale :

$$\forall x>0, \quad \log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$$

Exemples.

• $\log(1) = 0 \quad ; \quad \log(10) = 1$

• $\forall r \in \mathbb{Q},\ \log(10^r) = r$

• $\log(1000) = \log(10^3) = 3 \quad ; \quad \log(0{,}01) = \log(10^{-2}) = -2$

• $\log(\sqrt[3]{10}) = \log\!\left(10^{\frac{1}{3}}\right) = \dfrac{1}{3}$